$y=\frac{1}{2}{x}^2+1$ পরাবৃত্ত এবং এর উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ হলো:

\(y = \frac{1}{2}x^2 + 1\)

এই সমীকরণটিকে সাজিয়ে লেখা যায়:

\(2y = x^2 + 2\)

\(x^2 = 2y - 2\)

\(x^2 = 2(y - 1)\)

এটি একটি অধিবৃত্ত (parabola) যার আদর্শ রূপ হলো \(x^2 = 4a(y - k)\) যেখানে এর শীর্ষবিন্দু \((h, k)\) এবং অধিবৃত্তটি উপরের দিকে উন্মুক্ত।

এখানে, শীর্ষবিন্দু \((h, k) = (0, 1)\)

এবং \(4a = 2 \implies a = \frac{1}{2}\)

পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র (focus) হবে \((h, k + a)\)।

উপকেন্দ্র \(= (0, 1 + \frac{1}{2}) = (0, \frac{3}{2})\)

উপকেন্দ্রিক লম্ব (latus rectum) হলো সেই রেখা যা উপকেন্দ্র দিয়ে যায় এবং পরাবৃত্তের অক্ষের উপর লম্ব। যেহেতু এটি \(x^2 = 4a(y-k)\) আকারের পরাবৃত্ত, এর অক্ষ y-অক্ষের সমান্তরাল। তাই উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ হবে \(y = k+a\), অর্থাৎ \(y = \frac{3}{2}\)।

এখন, পরাবৃত্ত \(y = \frac{1}{2}x^2 + 1\) এবং উপকেন্দ্রিক লম্ব \(y = \frac{3}{2}\) দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, পরাবৃত্ত এবং উপকেন্দ্রিক লম্বের ছেদবিন্দুগুলো বের করি:

\(\frac{3}{2} = \frac{1}{2}x^2 + 1\)

\(\frac{1}{2}x^2 = \frac{3}{2} - 1\)

\(\frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}\)

\(x^2 = 1\)

\(x = \pm 1\)

সুতরাং, ছেদবিন্দুগুলো হলো \((-1, \frac{3}{2})\) এবং \((1, \frac{3}{2})\)।

বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য ইন্টিগ্রেশন ব্যবহার করতে হবে। এক্ষেত্রে, উপরের ফাংশন \(y_{upper} = \frac{3}{2}\) (উপকেন্দ্রিক লম্ব) এবং নিচের ফাংশন \(y_{lower} = \frac{1}{2}x^2 + 1\) (পরাবৃত্ত)। ইন্টিগ্রেশন সীমা \(x = -1\) থেকে \(x = 1\)।

\(Area = \int_{-1}^{1} (y_{upper} - y_{lower}) dx\)

\(Area = \int_{-1}^{1} \left( \frac{3}{2} - \left( \frac{1}{2}x^2 + 1 \right) \right) dx\)

\(Area = \int_{-1}^{1} \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{2}x^2 - 1 \right) dx\)

\(Area = \int_{-1}^{1} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2 \right) dx\)

যেহেতু ফাংশনটি y-অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম, তাই আমরা \(0\) থেকে \(1\) পর্যন্ত ইন্টিগ্রেট করে \(2\) দিয়ে গুণ করতে পারি:

\(Area = 2 \int_{0}^{1} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{2}x^2 \right) dx\)

\(Area = 2 \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx\)

\(Area = \int_{0}^{1} (1 - x^2) dx\)

এখন ইন্টিগ্রেশন করি:

\(Area = \left[ x - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1}\)

\(Area = \left( 1 - \frac{1^3}{3} \right) - \left( 0 - \frac{0^3}{3} \right)\)

\(Area = \left( 1 - \frac{1}{3} \right) - 0\)

\(Area = \frac{3 - 1}{3}\)

\(Area = \frac{2}{3}\) বর্গ একক।

সুতরাং, পরাবৃত্ত এবং এর উপকেন্দ্রিক লম্ব দ্বারা বেষ্টিত ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল \(\frac{2}{3}\) বর্গ একক।

সঠিক উত্তরটি হলো \(\frac{2}{3}\)।